寻找知识背后的道理的倍数的特征教学实践与思

“3的倍数的特征”是人教版教材五年级下册第二单元的内容，本节课的重点是让学生经历3 的倍数的特征的探究过程，掌握3 的倍数特征。学生通过列举、观察，很容易总结出3 的倍数的特征，但教师却极少或从不引导学生思考其背后的道理，以致学生仅仅知其然而不知其所以然。

追根溯源，打开各种版本的教材可以发现，人教版和北师大版教材都是让学生在百数图上圈出3 的倍数，然后讨论总结其特征；苏教版教材让学生在百数图上圈出3的倍数后，又让学生在计数器上拨珠表示3的倍数，从而更直观地发现3的倍数与各个数位上数的和之间的关系；冀教版教材则略去了百数图，让学生在数位表上摆小棒，根据所用小棒的根数总结出3 的倍数的特征。由此可见，所有版本的教材都对“3 的倍数”背后的道理“避而不谈”。那么，本节课有没有必要让学生知道“为什么”？

M.Kline 在《西方文化中的数学》中指出，数学是一种精神，一种理性精神，正是这种精神，激发、促进、鼓舞人类的物质、道德和社会生活，试图回答人类自身存在和提出的问题，使人类努力去理解和控制自然，尽力去探索和确立已经获得知识的最深刻和最完善的内涵。课程不是一种“作为事实”的存在，而是一种“作为关系、过程和价值”的实践样式。因此，数学教育不仅要让学生掌握知识，还要让学生在自主探究的过程中，思考探究知识背后的数学原理和方法，帮助学生学会思维，使学生想得更清晰、更深入、更全面、更合理，从而提升学生的思维品质，这也是数学教学的价值所在。因此，本节课可在学生总结出“3 的倍数的特征”的基础上，引导学生再往前走一步。

【教学片段】

师：刚才我们已经发现了判断一个数是不是3 的倍数要看各个数位上数的和，对此你有什么问题？

生1：为什么判断是不是3的倍数要把各个数位上的数加起来？

生2：比如 15，15 中的“1”表示 1 个十，“5”表示 5 个一，为什么在判断时却变成了1个一加5个一？明明是1个十，为什么却成1个一？

师：这是为什么呢？想知道其中的道理吗？请大家任意写几个数，动手分一分、画一画，看看这些数为什么是或者不是3的倍数。

学生汇报：

生3（方法一）：我们小组研究的数是15，我们用分小棒的方法进行了研究。15 根小棒可以分成10 根小棒和5 根小棒，先把10 根小棒三根三根地分，分3 次后还余1根，还有 5 根小棒，1+5=6，合起来共 6 根小棒。将 6 根小棒继续三根三根地分，正好分完，说明15是3的倍数。

师：你发现了什么？

生3：因为1+5=6,6能被3整除，所以15是3的倍数。

师：一起来看一看，“1+5”中的“1”表示什么？这个“1”从哪来的？

生4：这个“1”表示10除以3的余数，表示余下1根小棒。

师：这个“1”与“15”中的“1”一样吗？

生5：不一样。“15”中的“1”表示 1 个十，“1+5”中的“1”表示余下来的1个一。

师：为什么要加上5？

生6：加上5 是看看现在还剩几根小棒没分，继续三根三根地分，看看能不能正好分完。

师：你们明白判断15 是不是3 的倍数，为什么要看“1+5”的道理了吗？

生7：就是把“1 个十”三个三个地分，余1，余下来的1 和个位上的“5”合起来再分，如果能分完就是3 的倍数，如果不能分完就不是3的倍数。

生8（方法二）：我们小组研究的数是243，我们是用分正方形的方法进行研究的。三个三个地分一百个小正方形，最后余1 个；三个三个地分两百个小正方形，最后余2个；三个三个地分十个小正方形，最后余1个小正方形，三个三个地分四十个小正方形，最后余4个小正方形；连上个位上的3个小正方形，一共还剩2+4+3=9个小正方形。继续三个三个地分9个小正方形，正好分完，说明243是3的倍数。

师：你能说一说“2+4+3”的道理吗？

生8：就是把百位上余下的2、十位上余下的4、个位上余下的3合起来，看看是不是3的倍数。

生9（方法三）：我们组研究的数是417，我们是根据数的组成进行研究的。因为

417=4×100+1×10+7×1

=4×（99+1）+1×（9+1）+7×1

=4×99+4+1×9+1+7

=4×99+1×9+（4+1+7）

“4×99+1×9”一定是3 的倍数，关键在于4+1+7=12也是3的倍数。

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