从零推导出理想气体定律，一项浩大的工程，涉

其中dU是一个精确微分，Q和W都是非精确微分。

有了这个结果，我们可以看到，我们只需要求出V_n就可以得到我们的答案。

一些有用的导数

常量

我们将首先考虑一个粒子的情况，以在我们必须考虑的多重性中找到一个立足点。然后，我们将研究一个多粒子系统。

我们无法得到所有可能位置的确切数目，因为空间是连续的（暂时这么认为）。可以说，如果有两倍的体积，就有两倍的位置数量，所以我们可以说：

这个方程就是基本热力学关系。

理想气体的多重性

系统没有理由给予动能的一个分量比其他分量更多的能量。因此，我们假设系统的能量均匀地分布在动能的所有组成部分中。这个假设就是等分定理。虽然这个定理在量子效应显著时并不成立，但在经典力学中却成立。我提到等分定理是为了让我们可以假设系统可以以相同的概率成为球体上的任何一点。

其中一个表达式中的平方之和

现在，让我们说，我们保持熵不变。然后我们就有了压力、体积和内能之间的有用关系。

动量

(我不需要第三定律，也不会直接使用第0定律，所以这里没有列出来。)

理想气体的内能

那么每个粒子含有更多原子的气体呢？

理想气体是一种由均匀的粒子组成的气体，其中的粒子不相互作用，不占用空间。虽然现实中没有气体具有这些特性，但许多气体由很少相互作用的粒子组成，所占空间可以忽略不计。

不绕弯子了，我们把f(x)当作一个指数函数。由于我们使用的是微积分，我们希望以e或1/e为底数。由于x^2总是正的，所以当x上升到无穷大时，exp(x2)将上升到无穷大，这使得积分更难计算。另一方面，exp(-x)在x到无穷大时为零，所以我们选择函数f(x)=exp(-x)。

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从压力和体积的角度看功

我做了两个简化。首先，前面的2给熵增加了一个我们可以忽略的小常数。第二，我把2mU的平方根的幂增加了1。你可以把这想象成通过乘以一个小的厚度将表面积转换为体积。如果你想知道为什么这些近似值有效，就不要做这些近似值，看看这些值之间的差别（N是10^23的数量级）。除此以外，我还清理了表达式。

这个小s是路径元素，它是一个有方向的无限小的距离。压力总是指向表面的内部或外部，所以它总是与体积变化的方向相同或相反。不管怎么说，我们可以把点积变成它们的大小的积。我们最后得到的结果是：

后面我会详细说明为什么需要海森堡不确定性原理。

代入n = 2，就得到了圆的周长和面积。然后代入n = 3，就得到了球面的表面积和体积。

正如我在前面对理想气体的定义中所说，粒子不占用空间，也不相互作用。因此，每个粒子的位置是独立于任何其他粒子的。由于我们有独立的位置，我们将把每个粒子的多重性乘以V，剩下的就是：

这个表达式没有正确的单位。2mU是动量的平方，而我们需要动量的三次方。我们可以通过乘以一个常数或取根号2mU的三次方。一旦我们处理大量的粒子，我们会选择第二个方法。

我们对x进行积分，所以我们可以在不改变积分值的情况下随意称呼它们。左半部分有一个平方的和，而右半部分是一个已知值。

对于多原子气体来说，有更多的方式来分配能量（又称自由度），所以内能的表达方式会发生变化。由于旋转动能和键能（以弹簧为模型）都被表示为某个常数乘以一个数字的平方，我们最终对双原子分子的表达方式如下：

请注意，斯特林近似法不仅适用于伽玛函数，也适用于阶乘。我们将在后面利用这一结果。如果我们求出vn，那么我们可以得到体积和表面积。

为了使用这个方程，我们需要做一些说明，并想出一些定义。首先，注意积分是在n维的空间上。我们将使用一些东西来表示独立于坐标表达的区域。其次，注意所有dx的组合是n维的体积元素，即dVn。最后，我们可以利用平方之和等于r^2的事实。作为一个简单的总结：

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